分别介绍用换元法、导数法和平方法计算y=3x+√(1-x)在区间[-1,1]上最大值和最小值的思路和步骤。
用到的公式：1.y=cx，则y'=c。其中c为不为0的常数。
2.y=√(a-bx),则y'=-b/2√(a-bx)。其中a，b为常数，b≠0。
3.二次函数的判别式公式。
方法一：换元法设√(1-x)=t，则x=1-t^2.
代入方程得：
y=3-3*t^2+t
=-3(t^2-1/3*t+1/36)+37/12
=-3(t-1/6)^2+37/12
方程看成为t的二次函数，开口向下，可知：
当t=1/6时，此时x0=35/36，y有最大值。
即ymax=37/12。
最小值在定义域两个端点中距离t对应的x最远处取得，
即ymin=f(-1)=-3+√2。
方法二：导数法
∵y=3x+√(1-x)
∴y'=3-1/2*√(1-x)=[6√(1-x)-1]/2√(1-x)。
令y'=0，则：6√(1-x)-1=0.
解方程得到x0=35/36.
分析导数y'在定义域上的符号如下：
(1)当x∈[-1，35/36]时，y'≥0，为增函数；
(2)当x∈[35/36，1]时，y'≤0，为减函数。
则当x=x0时，y有最大值，
即ymax=f(x1)=37/12。
又y(-1)=-3+√2,y(1)=3;
即ymin=-3+√2。
方法三：平方法∵y=3x+√(1-x)
∴y-3x=√(1-x)，两边平方得到：
(y-3x)^2=1-x
9x^2-(6y-1)x+y^2-1=0,对x的方程有解，则：
判别式△=(6y-1)^2-36(y^2-1)≥0,
即：y≤37/12.
得ymax=37/12。
又y(-1)=-3+√2,y(1)=3;
即ymin=-3+√2。
方法分析1.换元法、平方法目的是都是变形得到中学阶段学习的一元二次方程，进而根据性质求解函数的值域。
2.导数知识是高中进阶和大学数学的基本知识，导数是研究函数性质的重要工具，可以判断函数在给定区间上的单调性，也可以根据定义域求出函数的单调区间。
