冰块在水中融化，最后只剩一颗微小的晶点，这是物理常识。但要把这个过程写进数学，写成一套可计算、可演绎、可预测的逻辑模型，难得难以想象。现在，一道横亘近三十年的数学高墙，被攻克了。

一切都围绕一个看似简单的问题展开：一个表面在不断自我收缩、变得越来越光滑，最终消失的过程中，会不会出现无法处理的“奇点”？更准确说，是不是所有这种收缩演化中的“突变点”——数学上叫“奇点”——都不会太复杂，能继续演算下去，不至于让整套模型宕机？这个问题，被称为“Multiplicity-One猜想”。

最早提出这点的是Tom Ilmanen，1995年。他觉得无论表面怎么演化，其间出现的奇点如果只是“单重”的，也就是说，在这些点上，表面没有叠在一起、没有奇怪的复合结构，那么后续计算还能继续。如果这个假设成立，数学家就可以对这类演化做彻底的分析，哪怕途中出现了断点。

问题是，这个猜想没法轻松验证。哪怕是一个形如“哑铃”的表面，中间细、两头鼓，那细脖子收缩成一点的时候，方程就炸了——因为曲率趋近无穷。但如果你强行忽略这个奇点，剩下的两个鼓包还是可以各自继续演化成两个球。这给人一种错觉：也许这些奇点本质上只是“小事故”，不影响大局。

可这只是理想情况。真正麻烦的，是所谓“叠加态”——多个表面在某区域“重叠”，像一摞纸片。这时候，你根本无法断定哪个片层在上，哪个在下。曲率定义不了，流动方向也搞不清。整个方程体系就像高速公路中途塌了一节桥梁，无法通车。

几十年来，大量关于“平均曲率流”（mean curvature flow）的成果，都只能加一句前提：“在Multiplicity-One猜想成立的前提下……”这其实是一种集体押宝。如果这个前提错了，整个研究方向可能都要重来。

直到2024年，Richard Bamler和Bruce Kleiner两人，正式宣布完成了证明。这不是他们第一次在几何分析领域出手，但这次，是压轴之作。

他们不是用蛮力。他们先设定了一个“恶意卡塔诺体”（evil catenoid），也就是两个球面由细细的脖子相连的奇形怪状体。他们想象这个脖子越来越细，两个球慢慢靠近，如果最终合并，就出现了“灾难性奇点”。

他们的策略，是构建一个函数，去计算任意一点与“最近的邻层”的距离，然后跟踪这个“间距”随时间的变化。逻辑核心是：只要这个距离始终不为零，那就代表不同层之间不会真正“粘连”，不会发生堆叠态。

结果是，那个间距始终存在。再细的脖子，也拉不动两个区域重叠。这意味着，“灾难性奇点”压根不可能发生。

而这只是开始。因为真实世界中的表面可能远比“恶意卡塔诺体”更奇怪，结构更复杂。Bamler和Kleiner接着证明：所有这种复杂区域的影响都“极度局部”，对整个演化过程影响几乎可以忽略。他们用的是类似“边界效应”的处理方式：再复杂的角落，控制住它的小范围爆炸行为，整体依然平稳演化。

最后，他们给出了结论：平均曲率流下的闭合表面，在奇点处要么变成球体收缩为点，要么变成圆柱体塌陷为线段。除此之外的奇点几乎不存在，即使存在，也极不稳定，一点扰动就会崩塌消失。

所有复杂情况，全部排除。三十年后的今天，猜想被实锤。

这条证明线路不只是优雅，它干脆利落地清空了一类几何分析中最让人头疼的“例外情况”。

过去，主流研究集中在Ricci流。这种几何流以Perelman证明庞加莱猜想而名声大噪。它的强项在于重塑空间结构，提纯拓扑骨架。而平均曲率流，更像是雕塑师的刻刀，它直接对“面”的局部弯曲度动手，强制让表面收缩、光滑、简化，最终归于无。

但因为奇点行为难控，平均曲率流在很多领域不如Ricci流“安全”。现在，这个短板被补上。它将拥有新的“通用钥匙”，可以在更复杂空间中作业。

Bamler和Kleiner说，他们接下来要研究三维曲面在四维空间中如何演化。这等于是将现在的工具，从三维的水杯冰块问题，扩展到四维空间的高等拓扑问题。

接下来的目标，甚至包括重新证明Smale猜想——一个关于高维球体对称群结构的著名问题。这个猜想早已被证明过，但过程复杂。而用平均曲率流来“再证明一次”，有望更加通透。

这是最像物理的一种数学流。

冰块不会突然跳成两块，球不会凭空裂出两层，几何的演化也终于有了确定的边界。所有流向混乱的路径，最后都会归于秩序。这种确定性，在数学界，是一种罕见的奢侈。