一个集合要成为群需满足以下 4 个条件：

子群在数学及相关领域有重要意义，以下从几个方面举例说明：

数学研究：在代数方程求解方面，伽罗瓦通过研究置换群及其子群，彻底解决了高次方程能否用根式求解的问题。例如，对于五次及以上的一般代数方程，通过分析其对应的伽罗瓦群及其子群结构，能判断方程是否有根式解 。这使得人们对代数方程的理解从具体的求解方法，上升到了群论结构的高度，推动了代数学的重大发展。物理学领域：在晶体结构的研究中，晶体的对称性可以用空间群来描述，而空间群的子群能帮助科学家进一步分析晶体的微观结构和物理性质。不同类型的子群对应着晶体不同程度的对称性，通过研究这些子群，有助于了解晶体的光学、电学、力学等性质，为新材料的研发和应用提供理论基础 。比如，在半导体材料的研究中，利用子群理论分析晶体结构，能更好地理解材料的电子特性，从而优化材料性能。