五、设 $G=(V,E)$ 为一个带权重的、无负值环路的有向图。设 $s∈V$ 为源结点，对于结点 $v∈V-{s}$ ，如果结点 $v$ 可以从源结点 $s$ 到达，我们允许 $v.π$是结点 $v$ 在任意一条最短路径上的前驱;如果结点 $v$ 不可以从源结点 $s$ 到达，则 $π$ 为 $NIL$ 。请举出一个图例和一种 $π$ 的赋值，使得 $G_π$ 中形成一条环路。(根据引理24.16，这样的一种赋值不可能由一系列松弛操作生成。) 。引理 24.16 的内容是：设 $G=(V,E)$ 为一个带权重的有向图，权重函数为 $w:E→R$ 。设 $s∈V$ 为某个源结点，假定图 $G$ 不包含从源结点 $s$ 可以到达的权重为负值的环路，则在图 $G$ 由 INITIALIZESINGLE-SOURCE(G,s) 算法进行初始化之后，前驱子图 $G$ ,形成根结点为源结点 $s$ 的有根树,并且任何对图 $G$ 的边进行的任意松弛操作都将维持该性质不变。如果要写代码，请用go语言。文心一言：

要构造一个图例和一种 $\pi$ 的赋值，使得 $G_\pi$ 中形成一条环路，我们需要一个图，其中存在一些节点可以从源节点 $s$ 到达，而其他节点不能。然后，通过故意错误地设置 $\pi$ 值，我们可以在 $G_\pi$ 中形成一个环路。

图例

考虑以下带权重的有向图 $G=(V,E)$，其中：

• 节点集 $V = {s, a, b, c, d}$• 边集 $E$ 和权重 $w$ 如下：• $s \rightarrow a$，权重为 1• $a \rightarrow b$，权重为 2• $b \rightarrow c$，权重为 3• $c \rightarrow d$，权重为 4• $d \rightarrow a$，权重为 5$\pi$ 赋值• $s.\pi = NIL$• $a.\pi = s$• $b.\pi = a$• $c.\pi = b$• $d.\pi = c$• 错误赋值：我们故意错误地设置 $a.\pi = d$（注意，这在实际算法中不会通过松弛操作发生）$G_\pi$ 中的环路

根据上面的 $\pi$ 赋值，我们得到如下的前驱图 $G_\pi$：

• $s \rightarrow NIL$• $a \rightarrow d \rightarrow c \rightarrow b \rightarrow a$（这里形成了一个环路）Go 语言代码示例

下面是一个简单的 Go 语言代码示例，它定义了图结构并打印了 $G_\pi$ 的邻接表表示，以显示环路：

package mainimport"fmt"typeGraphstruct{ vertices map[string][]Edge}typeEdgestruct{ to string weight intfromstring// Added前驱 for表示}func NewGraph()*Graph{,return to & stringGraph,{ weightvertices int:)make{(map[string][]Edge)}}func (g *Graph)AddEdge(fromg.vertices[from]=append(g.vertices[from],Edge{to, weight,from})}func (g *Graph)SetPi(node, pi string){// This is a simplified representation to show the前驱 relationship// In a real implementation, we would store this in a separate mapfor i, edge :=range g.vertices[node]{if edge.to == pi { g.vertices[node][i].from= pi // This simulates the前驱 assignment}}}func (g *Graph)PrintGraphWithPi(){for node, edges :=range g.vertices { fmt.Printf("%s -> ", node)for _, edge :=range edges {if edge.from!=""{ fmt.Printf("[%s(%d)] ", edge.from, edge.weight)}else{ fmt.Printf("[%s(%d)] ","NIL", edge.weight)}} fmt.Println()}}func main(){ g :=NewGraph() g.AddEdge("s","a",1) g.AddEdge("a","b",2) g.AddEdge("b","c",3) g.AddEdge("c","d",4) g.AddEdge("d","a",5)// Setting π values g.SetPi("s","NIL") g.SetPi("a","s") g.SetPi("b","a") g.SetPi("c","b") g.SetPi("d","c")// Incorrect π assignment to create a cycle in G_π g.SetPi("a","d") g.PrintGraphWithPi()}解释1. Graph 结构体表示图，其中 vertices 是一个从节点到边的列表的映射。2. Edge 结构体包含目标节点、权重和来源节点（用于表示前驱）。3. NewGraph 函数创建一个新的图实例。4. AddEdge 方法向图中添加边。5. SetPi 方法设置前驱节点（注意，这里简化了前驱的存储方式，实际应用中可能需要一个单独的映射）。6. PrintGraphWithPi 方法打印图的邻接表表示，并显示前驱信息。7. main 函数中，我们创建图、添加边、设置前驱值，并打印图。

运行这段代码将展示 $G_\pi$ 的邻接表表示，从中可以观察到由于错误的前驱赋值导致的环路。

在这里插入图片描述

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讯飞星火：

为了解释如何构造一个图例和一种 $π$ 的赋值，使得 $G_π$ 中形成一条环路，我们可以使用一个简单的有向图。

图例

考虑以下有向图 ( G = (V, E) )：

• 顶点集 ( V = {s, a, b, c, d} )• 边集 ( E = {(s, a), (a, b), (b, c), (c, d), (d, a)} )

边的权重如下：

• ( w(s, a) = 1 )• ( w(a, b) = 1 )• ( w(b, c) = 1 )• ( w(c, d) = 1 )• ( w(d, a) = -3 )π 的赋值

我们为每个顶点分配一个前驱结点，使得在 $G_π$ 中形成一个环路。

• ( π(s) = NIL )• ( π(a) = s )• ( π(b) = a )• ( π(c) = b )• ( π(d) = c )

根据这个赋值，我们可以得到前驱子图 ( G_π )：

• ( G_π = ({s, a, b, c, d}, {(s, a), (a, b), (b, c), (c, d), (d, a)}) )

在这个图中，存在一个环路 ( s \rightarrow a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow d \rightarrow a )。

Go语言代码示例

以下是用Go语言实现上述图和前驱赋值的代码示例：

package mainimport"fmt"// Edge represents an edge in the graph with a weight.typeEdgestruct{from, to int weight int}// Graph represents a directed graph with weights.typeGraphstruct{ vertices []int edges []Edge}// NewGraph creates a new graph with given vertices and edges.func NewGraph(vertices []int, edges []Edge)*Graph{return&Graph{vertices: vertices, edges: edges}}// PrintGraph prints the graph's edges.func (g *Graph)PrintGraph(){for _, edge :=range g.edges { fmt.Printf("(%d -> %d, weight: %d)\n", edge.from, edge.to, edge.weight)}}func main(){// Define the vertices and edges of the graph. vertices :=[]int{0,1,2,3,4}// s=0, a=1, b=2, c=3, d=4 edges :=[]Edge{{0,1,1},// s -> a{1,2,1},// a -> b{2,3,1},// b -> c{3,4,1},// c -> d{4,1,-3},// d -> a (negative weight cycle)}// Create the graph. graph :=NewGraph(vertices, edges)// Print the graph. graph.PrintGraph()}

在这个代码示例中，我们定义了一个带权重的有向图，并打印了它的边。注意，这里包含了一个负权重的环路（从 d 到 a），这违反了引理24.16的条件。

360智脑：

为了满足你的要求，我们需要构造一个图 ( G = (V, E) )，并为其指定一个前驱赋值 ( \pi )，使得前驱子图 ( G_\pi ) 形成一条环路。同时，这个赋值不能通过一系列松弛操作生成。

图例

假设我们有一个图 ( G = (V, E) )，其中：

• ( V = {s, a, b, c} )• ( E = {(s, a), (a, b), (b, c), (c, a)} )• 权重函数 ( w ) 为：• ( w(s, a) = 1 )• ( w(a, b) = 1 )• ( w(b, c) = 1 )• ( w(c, a) = 1 )前驱赋值

我们为每个节点指定一个前驱 ( \pi )：

• ( s.\pi = NIL )• ( a.\pi = c )• ( b.\pi = a )• ( c.\pi = b )前驱子图 ( G_\pi )

根据上述前驱赋值，前驱子图 ( G_\pi ) 将包含以下边：

• ( (c, a) )• ( (a, b) )• ( (b, c) )

这形成了一个环路 ( c \rightarrow a \rightarrow b \rightarrow c )。

Go 语言实现

以下是用 Go 语言实现上述图和前驱赋值的代码：

package mainimport("fmt")// Node represents a node in the graphtypeNodestruct{NamestringPi*Node}// Graph represents a directed weighted graphtypeGraphstruct{Nodesmap[string]*NodeEdgesmap[string]map[string]int}// NewGraph creates a new graphfunc NewGraph()*Graph{return&Graph{Nodes:make(map[string]*Node),Edges:make(map[string]map[string]int),}}// AddNode adds a node to the graphfunc (g *Graph)AddNode(name string){ g.Nodes[name]=&Node{Name: name,Pi:nil}}// AddEdge adds a weighted edge to the graphfunc (g *Graph)AddEdge(from, to string, weight int){if g.Edges[from]==nil{ g.Edges[from]=make(map[string]int)} g.Edges[from][to]= weight}// SetPredecessor sets the predecessor for a nodefunc (g *Graph)SetPredecessor(nodeName string, predecessor *Node){ g.Nodes[nodeName].Pi= predecessor}// PrintGraph prints the graph and its predecessorsfunc (g *Graph)PrintGraph(){ fmt.Println("Nodes and their predecessors:")for _, node :=range g.Nodes{if node.Pi==nil{ fmt.Printf("%s -> NIL\n", node.Name)}else{ fmt.Printf("%s -> %s\n", node.Name, node.Pi.Name)}} fmt.Println("Edges and their weights:")forfrom, edges :=range g.Edges{for to, weight :=range edges { fmt.Printf("%s -> %s: %d\n",from, to, weight)}}}func main(){ graph :=NewGraph()// Add nodes graph.AddNode("s") graph.AddNode("a") graph.AddNode("b") graph.AddNode("c")// Add edges with weights graph.AddEdge("s","a",1) graph.AddEdge("a","b",1) graph.AddEdge("b","c",1) graph.AddEdge("c","a",1)// Set predecessors graph.SetPredecessor("a", graph.Nodes["c"]) graph.SetPredecessor("b", graph.Nodes["a"]) graph.SetPredecessor("c", graph.Nodes["b"])// Print the graph graph.PrintGraph()}解释1. 图的构建：我们创建了一个图 G，包含节点 s, a, b, c 和边 (s, a), (a, b), (b, c), (c, a)。2. 前驱赋值：我们为每个节点指定了前驱 π，使得 a.π = c, b.π = a, c.π = b。3. 前驱子图：根据前驱赋值，前驱子图 G_π 包含边 (c, a), (a, b), (b, c)，形成一个环路。结论

这个例子展示了如何构造一个图和前驱赋值，使得前驱子图中形成环路。根据引理 24.16，这样的前驱赋值不能通过一系列松弛操作生成。

智谱清言：

首先，我们来构造一个图例，然后给出一种违反引理24.16的前驱赋值，使得在G_π中形成一条环路。 图例： 设图G如下：

A / \ v \ B --> C ^ | | | D <- E

权重如下：

• A到B的权重为1• B到C的权重为2• C到E的权重为3• E到D的权重为4• D到B的权重为-1 现在，我们给出一种π的赋值，使得在G_π中形成一条环路。 π赋值：• A.π = NIL (源结点)• B.π = A• C.π = B• D.π = E• E.π = C 按照这种赋值，我们可以看到B -> D -> B形成了一个环路，违反了引理24.16，因为引理24.16指出，通过一系列松弛操作得到的G_π应该是一棵以源结点为根的有根树，不应该存在环路。 下面是使用Go语言编写的示例代码，定义图结构、边的权重和π赋值：package mainimport"fmt"typeGraphstruct{vertices map[string]*Vertex}typeVertexstruct{id stringadjacent map[string]intpi *Vertex}func NewGraph()*Graph{return&Graph{vertices:make(map[string]*Vertex),}}func (g *Graph)AddVertex(id string){g.vertices[id]=&Vertex{id: id,adjacent:make(map[string]int),pi:nil,}}func (g *Graph)AddEdge(from, to string, weight int){g.vertices[from].adjacent[to]= weight}func (g *Graph)SetPi(from, to string){g.vertices[from].pi = g.vertices[to]}func (g *Graph)PrintGraph(){for _, vertex :=range g.vertices {if vertex.pi !=nil{fmt.Printf("Vertex %s, π: %s\n", vertex.id, vertex.pi.id)}else{fmt.Printf("Vertex %s, π: NIL\n", vertex.id)}}}func main(){g :=NewGraph()g.AddVertex("A")g.AddVertex("B")g.AddVertex("C")g.AddVertex("D")g.AddVertex("E")g.AddEdge("A","B",1)g.AddEdge("B","C",2)g.AddEdge("C","E",3)g.AddEdge("E","D",4)g.AddEdge("D","B",-1)g.SetPi("B","A")g.SetPi("C","B")g.SetPi("D","E")g.SetPi("E","C")g.PrintGraph()}这段代码定义了一个简单的图结构，并且按照我们上面给出的π赋值设置了每个顶点的前驱。当运行这段代码时，它将打印出每个顶点及其前驱，显示出在G_π中存在一个环路。天工：1. 图例构建• 考虑有向图(G=(V, E))，其中(V = {s, u, v})，(E={(s, u), (u, v), (v, s)})，边的权重(w(s, u)=1)，(w(u, v)=1)，(w(v, s)= - 2)。2. (\pi)的赋值• 令(s.\pi = NIL)，(u.\pi = s)，(v.\pi = u)，(s.\pi = v)（这里(s.\pi = v)违反了正常由松弛操作得到的前驱关系，因为存在负权环使得正常的最短路径前驱关系被破坏）。• 这样在(G_{\pi})中就形成了一个环路(s - u - v - s)。

以下是用Go语言实现上述图结构（不涉及松弛操作等完整的最短路径算法部分，仅表示图结构和前驱关系）的示例代码：

package mainimport("fmt")// 顶点结构体typeVertexstruct{ name string pi *Vertex edges []*Edge}// 边结构体typeEdgestruct{ to *Vertex cost int}func main(){// 创建顶点 s :=&Vertex{name:"s"} u :=&Vertex{name:"u"} v :=&Vertex{name:"v"}// 初始化边 edge1 :=&Edge{to: u, cost:1} edge2 :=&Edge{to: v, cost:1} edge3 :=&Edge{to: s, cost:-2} s.edges =[]*Edge{edge1} u.edges =[]*Edge{edge2} v.edges =[]*Edge{edge3}// 设置前驱关系 u.pi = s v.pi = u s.pi = v// 输出前驱关系形成的环（简单表示） fmt.Printf("%s -> %s -> %s -> %s\n", s.name, u.name, v.name, s.name)}

在这个代码中，我们创建了一个简单的有向图结构，并且按照前面定义的违反正常松弛操作结果的前驱关系进行了设置，最后输出了形成的环。需要注意的是，这只是为了表示给定的(\pi)赋值下形成环的情况，并非完整的最短路径相关算法的实现。

chatgpt：

为了构建一个带权重的有向图示例，并展示如何通过赋值使得某些节点的前驱形成环路，我们可以考虑以下简单的图例。

假设我们有一个图 ( G = (V, E) )，其中：

• 节点集 ( V = {s, v_1, v_2, v_3} )• 边集 ( E = {(s, v_1), (v_1, v_2), (v_2, v_3), (v_3, v_1)} )，并且所有边的权重均为正数，例如 ( 1 )。

在这个图中：

• 从源节点 ( s ) 可以到达的节点是 ( v_1, v_2, v_3 )。• 边的权重如下： [ w(s, v_1) = 1, \quad w(v_1, v_2) = 1, \quad w(v_2, v_3) = 1, \quad w(v_3, v_1) = 1 ]

在这种情况下，我们可以对节点的前驱 ( \pi ) 进行如下赋值：

• ( v_1.\pi = s )• ( v_2.\pi = v_1 )• ( v_3.\pi = v_2 )• 由于没有从源节点 ( s ) 到达，所以如果 ( v ) 不可到达，则 ( v.\pi = NIL )

但是我们可以将前驱 ( \pi ) 修改为

• ( v_1.\pi = v_3 )• ( v_2.\pi = v_1 )• ( v_3.\pi = v_1 )

这样，在 ( v_1 ) 和 ( v_3 ) 之间就形成了一个环路。此时，( v_1 ) 的前驱指向 ( v_3 )，同时 ( v_3 ) 的前驱又指向 ( v_1 )，这构成了一个环。

在这里，尽管看起来我们在进行松弛操作，但是因为 ( v_1 ) 和 ( v_3 ) 的赋值形成了环路，这样的赋值并不是通过单纯的松弛操作可以达到的。

接下来，我们为该图写一个简单的 Go 语言代码示例：

package mainimport("fmt")// Edge represents a weighted directed edgetypeEdgestruct{from, to, weight int}// Graph represents a directed graph with weightstypeGraphstruct{ edges []*Edge}// NewGraph initializes a new graphfunc NewGraph()*Graph{return&Graph{}}// AddEdge adds an edge to the graphfunc (g *Graph)AddEdge(from, to, weight int){ g.edges =append(g.edges,&Edge{from, to, weight})}// PrintGraph prints the graph edgesfunc (g *Graph)PrintGraph(){for _, edge :=range g.edges { fmt.Printf("Edge from %d to %d with weight %d\n", edge.from, edge.to, edge.weight)}}func main(){// Create a new graph graph :=NewGraph()// Add edges according to the example graph.AddEdge(0,1,1)// s -> v1 graph.AddEdge(1,2,1)// v1 -> v2 graph.AddEdge(2,3,1)// v2 -> v3 graph.AddEdge(3,1,1)// v3 -> v1 (形成循环)// Print the graph graph.PrintGraph()// Frontiers assignment predecessors :=[]int{3,0,1,1}// 0: 表示 s, 1: v1, 2: v2, 3: v3 fmt.Println("Predecessor assignments:")for i, pred :=range predecessors { fmt.Printf("Node %d's predecessor is %d\n", i, pred)}}

在这段代码中，我们定义了一个简单的有向图，添加了边，以及展示了节点的前驱赋值。通过这个例子，您可以看到如何通过特定的前驱赋值使得图中形成环路。

kimi：

为了构造一个图 ( G ) 和一种 ( \pi ) 的赋值，使得在 ( G_{\pi} ) 中形成一条环路，我们需要违反引理 24.16 中提到的性质。引理 24.16 指出，如果图 ( G ) 不包含从源点 ( s ) 可以到达的权重为负值的环路，那么在图 ( G ) 由 INITIALIZESINGLE-SOURCE(G,s) 算法进行初始化之后，前驱子图 ( G_{\pi} ) 形成根结点为源点 ( s ) 的有根树，并且任何对图 ( G ) 的边进行的任意松弛操作都将维持该性质不变。

为了违反这个性质，我们需要创建一个包含负权重环路的图，并展示一种 ( \pi ) 的赋值，使得 ( G_{\pi} ) 包含一条环路。以下是这样一个图的例子：

1. 考虑一个有4个顶点的图 ( G = (V, E) )，顶点为 ( V = {s, A, B, C} )。2. 边和它们的权重如下：• ( (s, A) ) 权重为 1• ( (A, B) ) 权重为 1• ( (B, C) ) 权重为 1• ( (C, A) ) 权重为 -3• ( (A, s) ) 权重为 1

现在，让我们为 ( \pi ) 赋值，使得 ( G_{\pi} ) 包含一条环路：

• 初始化时，( \pi(s) = NIL )，( \pi(A) = NIL )，( \pi(B) = NIL )，( \pi(C) = NIL )。• 执行松弛操作：• 松弛 ( (s, A) )：( \pi(A) = s )，( d(A) = 1 )。• 松弛 ( (A, B) )：( \pi(B) = A )，( d(B) = 2 )。• 松弛 ( (B, C) )：( \pi(C) = B )，( d(C) = 3 )。• 松弛 ( (C, A) )：( \pi(A) = C )，( d(A) = 0 )（因为 ( 3 - 3 = 0 )）。• 松弛 ( (A, s) )：( \pi(s) = A )，( d(s) = 1 )（因为 ( 0 + 1 = 1 )）。

现在，我们有 ( \pi(s) = A )，( \pi(A) = C )，( \pi(B) = A )，( \pi(C) = B )。这形成了一条环路：( s \rightarrow A \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow A )。

这个例子展示了即使图 ( G ) 包含负权重环路，我们也可以为 ( \pi ) 赋值，使得 ( G_{\pi} ) 包含一条环路。这违反了引理 24.16 中提到的性质，因为 ( G_{\pi} ) 不是一棵有根树。

以下是用 Go 语言实现上述过程的代码：

package mainimport"fmt"typeGraphstruct{ edges map[string][]Edge}typeEdgestruct{ to string weight int}func (g *Graph)Relax(from, to string, weight int){if g.edges[from]==nil{ g.edges[from]=[]Edge{}} g.edges[from]=append(g.edges[from],Edge{to: to, weight: weight})}func main(){ g :=&Graph{edges:make(map[string][]Edge)} g.Relax("s","A",1) g.Relax("A","B",1) g.Relax("B","C",1) g.Relax("C","A",-3) g.Relax("A","s",1)var pi map[string]string pi =make(map[string]string) pi["s"]="NIL" pi["A"]="NIL" pi["B"]="NIL" pi["C"]="NIL" relaxEdge("s","A", g, pi) relaxEdge("A","B", g, pi) relaxEdge("B","C", g, pi) relaxEdge("C","A", g, pi) relaxEdge("A","s", g, pi) fmt.Println(pi)}func relaxEdge(from, to string, g *Graph, pi map[string]string){ edges := g.edges[from]for _, edge :=range edges {if edge.to == to {if pi[to]=="NIL"||(pi[from]!="NIL"&& pi[to]!= pi[from]&& edge.weight+distance(pi[from])< distance(pi[to])){ pi[to]=from}}}}func distance(pi map[string]string)map[string]int{ dist :=make(map[string]int) dist["s"]=0return dist}

这段代码定义了一个图结构，添加了边，并执行了松弛操作以更新 ( \pi ) 值。最后，它打印出 ( \pi ) 的值，展示了 ( G_{\pi} ) 中的环路。

混元：

为了说明这个问题，我们需要构建一个具体的图例，并给出一种可能的 $\pi$ 赋值，使得 $G_\pi$ 中形成一条环路。同时，我们需要确保这种赋值不是通过一系列松弛操作生成的。

图例构建

考虑以下有向图 $G = (V, E)$，其中 $V = {s, a, b, c}$，$E = {(s, a), (a, b), (b, c), (c, a)}$，权重函数 $w: E \rightarrow \mathbb{R}$ 定义如下：

• $w(s, a) = 1$• $w(a, b) = 1$• $w(b, c) = 1$• $w(c, a) = 1$

这个图中没有负权重的环路，但是存在一个非最短路径的环路 $(s, a, b, c, a)$。

$\pi$ 赋值

我们定义前驱数组 $\pi$ 如下：

• $\pi[s] = NIL$• $\pi[a] = s$• $\pi[b] = a$• $\pi[c] = b$• $\pi[d] = c$

这样，前驱子图 $G_\pi$ 将形成一条从 $s$ 开始的环路：$s \rightarrow a \rightarrow b \rightarrow c \rightarrow a$。

Go 代码实现

下面是用 Go 语言实现的代码，用于构建上述图并定义 $\pi$ 赋值：

package mainimport("fmt")typeEdgestruct{FromstringTostringWeightint}typeGraphstruct{Vertices[]stringEdges[]Edge}func NewGraph()*Graph{return&Graph{}}func (g *Graph)AddVertex(v string){ g.Vertices=append(g.Vertices, v)}func (g *Graph)AddEdge(from, to string, weight int){ g.Edges=append(g.Edges,Edge{From:from,To: to,Weight: weight})}func main(){ g :=NewGraph()// Add vertices g.AddVertex("s") g.AddVertex("a") g.AddVertex("b") g.AddVertex("c")// Add edges with weights g.AddEdge("s","a",1) g.AddEdge("a","b",1) g.AddEdge("b","c",1) g.AddEdge("c","a",1)// Print graph fmt.Println("Vertices:", g.Vertices) fmt.Println("Edges:", g.Edges)// Define π assignment pi :=map[string]string{"s":"NIL","a":"s","b":"a","c":"b",}// Print π assignment fmt.Println("π assignment:", pi)}解释1. 图的构建：我们创建了一个有向图，并添加了顶点和边。2. $\pi$ 赋值：我们定义了一个前驱数组 $\pi$，使得 $G_\pi$ 形成一个环路。3. 输出：程序将输出图的顶点和边，以及 $\pi$ 赋值。

通过这种方式，我们可以清楚地看到如何构造一个图和相应的前驱数组，使得 $G_\pi$ 形成一个环路，而这种赋值并不是通过一系列松弛操作生成的。